Bài 9 trang 92 SGK Hình học 11

Phương pháp giải
Sử dụng kết quả của định lí 1 về điều kiện để ba vector đồng phẳng.
Trong không gian cho hai vector $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương và vector $\overrightarrow{c}$. Khi đó ba vector $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số $m;n$ sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$. Ngoài ra cặp số $m;n$ là duy nhất.
Lời giải chi tiết

Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ qua hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{SC}$:
Ta có:
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CN}$$=\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\left(1\right)$
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\left(2\right)$
Nhân (2) với $2$ rồi cộng với (1) ta được:
$3\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{SC}$ + $2\overrightarrow{AB}$ $\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$
Vậy $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{SC}$ đồng phẳng.