Bài 9 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao

Lời giải chi tiết

Gọi O1​ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các điểm tiếp xúc của đường tròn đó với các cạnh M, N, P.
Gọi là trục của đường tròn này thì chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA.
Tương tự, nếu gọi là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABD thì chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABD .
Kí hiệu điểm tiếp xúc của ba cạnh ấy với đường tròn nội tiếp là N1​, Q, R (N1​ thuộc AB).
Khi ấy, vì

Mà AC+BD = AD+BC nên AN = AN1​, từ đó
Suy ra
Mặt khác, và cắt mp(ABC) tại vuông góc với AB và cắt mp(ABD) tại O2​ nên cùng nằm trong mp().
Từ đó cắt tại O, đó là điểm cách đều năm cạnh AB, AC, BC, AD, BD của tứ diện ABCD hay
OM = ON = OP = OQ = OR. (1)
Hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có cắt ( là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ACD) tại O' và
O'M = O'N = O'Q = O'R = O'S (2)
(S là điểm tiếp xúc của cạnh CD và đường tròn nội tiếp ).
Từ (1) và (2) ta có O, O' cùng là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm M, N, Q, R mà M, N, Q, R không đồng phẳng, vậy
Đó là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện, bán kính mặt cầu đó là ON.