Bài 9 trang 170 SBT hình học 12

Lời giải chi tiết
a) Dễ thấy C(1; 1; 0), B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C'(1; 1; 1), D'(0; 1; 1).
b) Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(1;1;-1\right)$
$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;1;1\right)$, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\left(-1;1;0\right)$
Do đó $\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=0$ và $\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{BD}=0$
Từ đó suy ra $A^{\prime }C\mathrm{\perp }B{C}^{\prime },A^{\prime }C\mathrm{\perp }BD$ nên A'C ⊥ (BC'D).
c)

Gọi IJ là đường vuông góc chung của B'D' và BC'
$\overrightarrow{n_1}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) qua B'D' và song song với A'C
$\overrightarrow{n_2}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) qua BC' và song song với A'C.
Khi đó $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }C},\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\right]=\left(1;1;2\right)$
$\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }C},\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\right]=\left(2;-1;1\right)$
Phương trình của (P) là: (x - 1) + y + 2(z - 1) = 0 hay x + y + 2z - 3 = 0.
Phương trình của (Q) là: 2(x - 1) - y + z = 0 hay 2x - y + z - 2 = 0.
Phương trình của (B'D') là: $\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=t\\ z=1\end{array}$ .
Phương trình của (BC') là: $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\\ z=t\end{array}$
I là giao điểm của đường thẳng B'D' và (Q), để tìm tọa độ của I ta thế phương trình đường thẳng B'D' vào phương trình của (Q)
Ta có: 2(1 - t) - t + 1 - 2 = 0, hay t = 1/3.
Từ đó suy ra I(2/3; 1/3; 1)
Tương tự, ta tìm được J(1; 2/3; 1/3).