Bài 72 trang 88 SBT toán 8 tập 1

Phương pháp giải
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết

Cách dựng:
- Dựng điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $Ox$
- Dựng điểm $E$ đối xứng với $A$ qua tia $Oy$
- Nối $DE$ cắt $Ox$ tại $B,Oy$ tại $C$
Tam giác $ABC$ là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì $\widehat{xOy}<{90}^0$ nên $DE$ luôn cắt $Ox$ và $Oy$ do đó $∆ABC$ luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi $∆ABC$ bằng $AB+BC+AC$
Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $Ox$ nên $Ox$ là đường trung trực của $AD$
$\Rightarrow AB=BD$ ( tính chất đường trung trực)
$E$ đối xứng với $A$ qua $Oy$ nên $Oy$ là đường trung trực của $AE$
$\Rightarrow AC=CE$ ( tính chất đường trung trực)
Suy ra: $AB+BC+AC$$=BD+BC+CE=DE(1)$
Lấy $B^{\prime }$ bất kì trên $Ox,$ $C^{\prime }$ bất kì trên tia $Oy.$ Nối $C^{\prime }E,$ $C^{\prime }A,$ $B^{\prime }A,$ $B^{\prime }D.$
Ta có: $B^{\prime }A=B^{\prime }D$ ( tính chất đường trung trực)
$C^{\prime }A=C^{\prime }E$ (tính chất đường trung trực)
Chu vi $∆A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $A{B}^{\prime }+A{C}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }$$=B^{\prime }D+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }E(2)$
Vì $DE\le B^{\prime }D+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }E$ (dấu bằng sảy ra khi $B^{\prime }$ trùng $B,$ $C^{\prime }$ trùng $C$)
nên chu vi của $∆ABC\le$ chu vị của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$
Vậy $∆ABC$ có chu vi bé nhất.