Bài 7 trang 92 SGK Hình học 11

Câu hỏi: Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BD$ của tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

Câu a

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};$
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ với $M$ là điểm bất kì trong không gian và $I$ là trung điểm của $AB$.
Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},$ (Vì M là trung điểm của AC)
$\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.$ (Vì N là trung điểm của BD)
Cộng từng vế ta được:
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}$ $=2\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}\right)=\overrightarrow{0}$
(Vì $I$ là trung điểm của $MN$)

Câu b

$\overrightarrow{PI}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).$
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết:
$\begin{array}{l}VP=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}\right)\\ =\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{ID}\right)\\ =\frac{1}{4}\left[4\overrightarrow{PI}+\underset{\overrightarrow{0}}{\underbrace{\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)}}\right]\\ =\frac{1}{4}.4\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PI}=VT\end{array}$