Bài 7 trang 92 SGK Hình học 11

Câu hỏi: Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(BD\) của tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) và \(P\) là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

Câu a

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với \(M\) là điểm bất kì trong không gian và \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},\) (Vì M là trung điểm của AC)
\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\) (Vì N là trung điểm của BD)
Cộng từng vế ta được:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \) \(= 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow 0 \)
(Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\))

Câu b

\(\overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết:
$\begin{array}{l}
VP = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {PD} + \overrightarrow {ID} } \right)\\
= \frac{1}{4}\left[ {4\overrightarrow {PI} + \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right]\\
= \frac{1}{4}.4\overrightarrow {PI} = \overrightarrow {PI} = VT
\end{array}$