Bài 7 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại H và SH là đường cao của hình chóp đã cho.

Câu 1

Chứng minh rằng bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S. HAB, S. HBC, S. HCD, S. HDA là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:

Gọi I1​ là trung điểm của AB và O1​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABH thì và
Tương tự như trên, nếu thứ tự là trung điểm của BC, CD, DA và thứ tự là tâm của mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S. HBC, S. HCD, S. HDA thì

và cùng song song với SH.
Dễ thấy và
và
và
và
Kết hợp với ta có là hình chữ nhật.

Câu 2

Gọi H1​, H2​, H3​, H4​ là hình chiếu của H lần lượt trên AB, BC, CD, DA . Chứng minh rằng hình chóp S. H1​H2​H3​H4​ có mặt cầu ngoại tiếp. Tính diện tích của thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi mp(ABCD) nếu biết H1​H3​ =a,
Lời giải chi tiết:

Dễ thấy



Từ đó


Vậy là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Từ đó hình chóp S. có mặt cầu ngoại tiếp.
Diện tích thiết diện của hình cầu đó và mặt phẳng (ABCD) là diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác .
Vì nên . Khi ấy (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ), từ đó
Vậy diện tích hình thu được là