Google
Câu hỏi: Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và hai dây \(AB,\) \(CD\) bất kì. Gọi \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB.\) Gọi \(E\) và \(F\) tương ứng là giao điểm của \(MC,\) \(MD\) với dây \(AB.\) Gọi \(I\) và \(J\) tương ứng là giao điểm của \(DE,\) \(CF\) với đường tròn \((O).\) Chứng minh \(IJ\) song song với \(AB.\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^\circ\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \((O)\) có \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(\overparen{AB}\).
Suy ra \(\overparen{MA}\) = \(\overparen{MB}\)
Lại có: \(\widehat {AEC} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB}\)) (góc có đỉnh ở trong đường tròn)
\(\widehat {CDM} = \displaystyle {1 \over 2} sđ\overparen{MAC}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {CDF} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{MA} + sđ\overparen{AC})\)\(=\displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB})\)
Suy ra: \(\widehat {AEC} = \widehat {CDF}\)
Ta có: \(\widehat {AEC} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {CDF} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \) nên tứ giác \(CDFE\) nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CE}\)) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CFE}\)
Trong đường tròn \((O)\) ta có:
\(\widehat {CDI} = \widehat {CJI}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CAI}\))
Suy ra: \(\widehat {CJI} = \widehat {CFE}\)
\( \Rightarrow IJ // AB\) (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^\circ\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \((O)\) có \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(\overparen{AB}\).
Suy ra \(\overparen{MA}\) = \(\overparen{MB}\)
Lại có: \(\widehat {AEC} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB}\)) (góc có đỉnh ở trong đường tròn)
\(\widehat {CDM} = \displaystyle {1 \over 2} sđ\overparen{MAC}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {CDF} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{MA} + sđ\overparen{AC})\)\(=\displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB})\)
Suy ra: \(\widehat {AEC} = \widehat {CDF}\)
Ta có: \(\widehat {AEC} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {CDF} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \) nên tứ giác \(CDFE\) nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CE}\)) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CFE}\)
Trong đường tròn \((O)\) ta có:
\(\widehat {CDI} = \widehat {CJI}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CAI}\))
Suy ra: \(\widehat {CJI} = \widehat {CFE}\)
\( \Rightarrow IJ // AB\) (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)