Bài 67 trang 42 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Chú ý rằng vì ${\left(x+a\right)}^2\ge 0$ với mọi giá trị của $x$ và ${\left(x+a\right)}^2=0$ khi $x=-a$ nên ${\left(x+a\right)}^2+b\ge b$ với mọi giá trị của $x$ và ${\left(x+a\right)}^2+b=b$ khi $x=-a$. Do đó giá trị nhỏ nhất của ${\left(x+a\right)}^2+b$ bằng $b$ khi $x=-a$. Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Câu a

Rút gọn rồi tìm giá trị của $x$ để biểu thức ${\displaystyle \frac{x^2}{x-2}.\left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)+3}$ có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Phương pháp giải:
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.
- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
${\displaystyle \frac{x^2}{x-2}.\left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)+3}$ (điều kiện $x\ne 2$ và $x\ne 0$ )
${\displaystyle =\frac{x^2}{x-2}.\frac{x^2+4-4x}{x}+3}$
${\displaystyle =\frac{x^2}{x-2}.\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x}+3}$
$=x\left(x-2\right)+3$
$=x^2-2x+3$
$=x^2-2x+1+2$
$={\left(x-1\right)}^2+2$
Ta có: ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$ $\Rightarrow {\left(x-1\right)}^2+2\ge 2$ với mọi giá trị của $x$
Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng $2$ khi $x=1$.
Mà $x=1$ thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ tại $x=1$.

Câu b

Rút gọn rồi tìm giá trị của $x$ để biểu thức ${\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)}$$-{\displaystyle \frac{x^2+6x+4}{x}}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
Phương pháp giải:
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.
- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
${\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)}$$-{\displaystyle \frac{x^2+6x+4}{x}}$ (điều kiện $x\ne 0$ và $x\ne -2$)
${\displaystyle =\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\frac{x+2-x^2}{x+2}}$$-{\displaystyle \frac{x^2+6x+4}{x}}$
${\displaystyle =\frac{\left(x+2\right)\left(x+2-x^2\right)}{x}}$$-{\displaystyle \frac{x^2+6x+4}{x}}$
${\displaystyle =\frac{x^2+2x-x^3+2x+4-2x^2-x^2-6x-4}{x}}$
${\displaystyle =\frac{-x^3-2x^2-2x}{x}}$
${\displaystyle =\frac{-x\left(x^2+2x+2\right)}{x}}$
$=-\left(x^2+2x+2\right)$
$=-\left[\left(x^2+2x+1\right)+1\right]$
$=-\left[{\left(x+1\right)}^2+1\right]$
$=-{\left(x+1\right)}^2-1$
Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$ $\Rightarrow -{\left(x+1\right)}^2\le 0$ $\Rightarrow -{\left(x+1\right)}^2-1\le -1$
Nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng $–1$ khi $x=-1$.
Mà $x=-1$ thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng $–1$ tại $x=-1$.