Bài 67 trang 42 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\) và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x = - a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của \(x\) và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi \(x = - a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng \(b\) khi \(x = - a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Câu a

Rút gọn rồi tìm giá trị của \(x\) để biểu thức \(\displaystyle {{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Phương pháp giải:
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.
- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) )
\(\displaystyle = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} \over x} + 3\)
\(\displaystyle = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over x} + 3\)
\( = x\left( {x - 2} \right) + 3\)
\(= {x^2} - 2x +3\)
\(= {x^2} - 2x + 1 + 2\)
\(= {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \)
Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của \(x\)
Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng \(2\) khi \(x = 1\).
Mà \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) tại \(x = 1\).

Câu b

Rút gọn rồi tìm giá trị của \(x\) để biểu thức \(\displaystyle {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) \)\(-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
Phương pháp giải:
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.
- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) \)\(-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne - 2\))
\(\displaystyle = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 - {x^2}} \over {x + 2}} \)\(-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\)
\(\displaystyle = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - {x^2}} \right)} \over x} \)\(-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\)
\(\displaystyle = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} \over x}\)
\(\displaystyle = {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} \over x}\)
\(\displaystyle = {{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x}\)
\(= - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\)
\(= - \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right]\)
\(= - \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right]\)
\(= - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1\)
Vì \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\) \( \Rightarrow - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le - 1 \)
Nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng \(– 1\) khi \(x = - 1\).
Mà \(x = - 1\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng \(– 1\) tại \(x = - 1 \).