Bài 64 trang 41 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến:

Câu a

\(\displaystyle {\displaystyle {x - {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\).
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{x - \displaystyle {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)
Ta có: \(x - \displaystyle {1 \over x}\) xác định khi \(x ≠ 0\)
\(\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}\) xác định khi \(x ≠ 0\)
\(\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0\) \( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - 2x - 2}}{x} \ne 0\) \(\displaystyle \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0\)
\( \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0 \) \( \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \)\(\Rightarrow x \ne - 1\) và \(x \ne 1 \)
Vậy với \(x ≠ 0, x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức xác định.
Ta có:
\(\displaystyle {{x - \displaystyle {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)\( \displaystyle = {\displaystyle {{{{x^2} - 1} \over x}} \over {\displaystyle{{{x^2} - 1} \over x}}}\)\(\displaystyle = {\displaystyle {{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1\)
Vậy với điều kiện \(x ≠ 0, x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)

Câu b

\(\displaystyle {\displaystyle {{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\).
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {\displaystyle {{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)
Ta có: \(\displaystyle {x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}\) xác định khi \(x + 1 ≠ 0\) và \(x – 1 ≠ 0\)\(\Rightarrow x \ne \pm 1\)
\(\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}\) xác định khi \(x – 1 ≠ 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\)
\(\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0\)\( \Rightarrow \displaystyle {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)\( \Rightarrow \displaystyle {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ne 0\) với mọi \(x\)
Vậy điều kiện để biểu thức xác định là \(x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\)
Ta có:
\(\displaystyle {\displaystyle{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)
\( \displaystyle = {\displaystyle {{{x\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \over {\displaystyle {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}}\)
\( = \dfrac{{{x^2} - x + x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}:\dfrac{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \displaystyle {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {1 \over 2}\)
Vậy với điều kiện \( x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)
\(x ≠ 0, x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\)

Câu c

\(\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\).
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)
Biểu thức xác định khi \(x – 1 ≠ 0,\) \({x^2} - 2x + 1 \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\)
\(x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \)
\( {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne 1 \)
\( {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \)\(\Rightarrow x \ne - 1\) và \(x \ne 1 \)
Vậy biểu thức xác định với \(x ≠ -1\) và \(x ≠ 1\)
Ta có: \(\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)
\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left[ {{x \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \)
\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}\)\(\displaystyle \displaystyle .{{x\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \)\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + x - x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} \)\(\displaystyle = {{ - \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} = - 1 \)
Vậy với điều kiện \(x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)

Câu d

\(\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right)\)\(:\displaystyle {{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\).
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right)\)\(:\displaystyle {{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)
Biểu thức xác định khi \( {x^2} - 36 \ne 0,\) \({x^2} + 6x \ne 0,\) \(6 - x \ne 0,\) \(2x - 6 \ne 0 \)
+) \({x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne 6\) và \(x \ne - 6 \)
+) \({x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne 0\) và \(x \ne - 6 \)
+) \( 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \);
+) \( 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \).
Vậy \(x ≠ 0,\) \(x ≠ 3,\) \(x ≠ 6\) và \(x ≠ -6\) thì biểu thức xác định.
Ta có : \(\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}}\)\( + \displaystyle {x \over {6 - x}}\)
\(\displaystyle = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} - {{x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]\)\(:\displaystyle {{2x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 - x}} \)\(\displaystyle = {{{x^2} - {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}}\)\(\displaystyle + {x \over {6 - x}}\)\(\displaystyle = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}}\)\(\displaystyle + {x \over {6 - x}}\)\(\displaystyle = {{12\left( {x - 3} \right)} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}}\)\(\displaystyle = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left( {x - 6} \right)} \over {x - 6}} = - 1 \)
Vậy với điều kiện \(x ≠ 0,\) \(x ≠ 3,\) \(x ≠ 6\) và \(x ≠ -6\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)