Bài 61 trang 87 SBT toán 8 tập 1

Phương pháp giải
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$
Lời giải chi tiết

$a)$ Vì $M$ đối xứng với $H$ qua trục $BC$
$\Rightarrow BC$ là đường trung trực của $HM$
$\Rightarrow BH=BM$ ( tính chất đường trung trực)
$CH=CM$ ( tính chất đường trung trực)
+ Xét tam giác $BHC$ và tam giác $BMC$ có:
Cạnh $BC$ chung
$BH=BM$ ( chứng minh trên)
$CH=CM$ (chứng minh trên)
Suy ra: $∆BHC=∆BMC(c.c.c)$
$b)$ Gọi giao điểm $BH$ với $AC$ là $D,$ giao điểm của $CH$ và $AB$ là $E$
$H$ là trực tâm của $∆ABC$
$\Rightarrow BD\perp AC,CE\perp AB$
Xét tứ giác $ADHE$ ta có:
$\widehat{DHE}+\hat{A}+\hat{D}+\hat{E}={360}^0$ (tổng 4 góc trong tứ giác bằng ${360}^0)$
$\Rightarrow \widehat{DHE}={360}^0-\left(\hat{A}+\hat{D}+\hat{E}\right)$
$={360}^0-\left({60}^0+{90}^0+{90}^0\right)={120}^0$
$\widehat{BHC}=\widehat{DHE}$ (đối đỉnh)
$∆BHC=∆BMC$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{BHC}$
Suy ra: $\widehat{BMC}=\widehat{DHE}={120}^0$