Google
Câu hỏi: Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0}\), trực tâm \(H.\) Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(BC.\)
\(a)\) Chứng minh \(∆ BHC = ∆ BMC.\)
\(b)\) Tính \(\widehat {BMC}\)
\(a)\) Chứng minh \(∆ BHC = ∆ BMC.\)
\(b)\) Tính \(\widehat {BMC}\)
Phương pháp giải
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \(360^o.\)
Lời giải chi tiết
\(a)\) Vì \(M\) đối xứng với \(H\) qua trục \(BC\)
\(⇒ BC\) là đường trung trực của \(HM\)
\(⇒ BH = BM\) ( tính chất đường trung trực)
\(CH = CM\) ( tính chất đường trung trực)
+ Xét tam giác \(BHC\) và tam giác \(BMC\) có:
Cạnh \(BC\) chung
\(BH= BM\) ( chứng minh trên)
\(CH = CM\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(∆ BHC = ∆ BMC (c.c.c)\)
\(b)\) Gọi giao điểm \(BH\) với \(AC\) là \(D,\) giao điểm của \(CH\) và \(AB\) là \(E\)
\(H\) là trực tâm của \(∆ ABC\)
\(⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB\)
Xét tứ giác \(ADHE\) ta có:
\(\widehat {DHE} +\widehat A + \widehat D + \widehat E= {360^0} \) (tổng 4 góc trong tứ giác bằng \(360^0)\)
\(\Rightarrow \widehat {DHE} = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right) \)
\(= {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {120^0}\)
\(\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\) (đối đỉnh)
\(∆ BHC = ∆ BMC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\)
Suy ra: \(\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\)
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \(360^o.\)
Lời giải chi tiết
\(a)\) Vì \(M\) đối xứng với \(H\) qua trục \(BC\)
\(⇒ BC\) là đường trung trực của \(HM\)
\(⇒ BH = BM\) ( tính chất đường trung trực)
\(CH = CM\) ( tính chất đường trung trực)
+ Xét tam giác \(BHC\) và tam giác \(BMC\) có:
Cạnh \(BC\) chung
\(BH= BM\) ( chứng minh trên)
\(CH = CM\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(∆ BHC = ∆ BMC (c.c.c)\)
\(b)\) Gọi giao điểm \(BH\) với \(AC\) là \(D,\) giao điểm của \(CH\) và \(AB\) là \(E\)
\(H\) là trực tâm của \(∆ ABC\)
\(⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB\)
Xét tứ giác \(ADHE\) ta có:
\(\widehat {DHE} +\widehat A + \widehat D + \widehat E= {360^0} \) (tổng 4 góc trong tứ giác bằng \(360^0)\)
\(\Rightarrow \widehat {DHE} = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right) \)
\(= {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {120^0}\)
\(\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\) (đối đỉnh)
\(∆ BHC = ∆ BMC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\)
Suy ra: \(\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\)