Bài 61 trang 13 SBT Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Một mặt phẳng đi qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.

Câu 1

Chứng minh rằng tứ giác AB'C'D' có hai góc đối diện là góc vuông.
Lời giải chi tiết:

Dễ thấy
Từ đó suy ra :

Tương tự ta có
Như vậy tứ giác AB'C'D' có hai góc B' và D' vuông.

Câu 2

Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A thì luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, B', C, C', D, D' cùng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi.
Lời giải chi tiết:
Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và mp(ABCD) .
Do thuộc nên .
Theo định lý ba đường vuông góc, ta có . Hơn nữa, nằm trong mp(ABCD) và đi qua điểm A có định, vậy là đường thẳng cố định.
Do

Các tam giác vuông ABC, ADC, AB'C, AD'C, AC'C có chung cạnh huyền cố định AC, suy ra các đỉnh A, B, C, D, B', C', D' đều cách trung điểm O của AC một khoảng không đổi

Câu 3

Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x.
Tính tỉ số giữa thể tích của hình chóp S. AB'C'D' và thể tích của hình chóp S. ABCD theo x, biết rằng AB = BC.
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Do nên SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB) và do đó . Ta có

Do ABCD là hình vuông nên dễ dàng suy ra được SB'=SD'
Từ đó dễ thấy

Ta có :


Vậy
Cách 2. Dễ thấy :
Từ đó dễ dàng suy ra kết quả cần tìm.