Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AK\) và \(CL\) cắt nhau tại \(O.\) Từ một điểm \(P\) bất kì trên cạnh \(AC\), vẽ các đường thẳng \(PE\) song song với \(AK,\) \(PF\) song song với \(CL\) (\(E\) thuộc \(BC,\) \(F\) thuộc \(AB\)). Các trung tuyến \(AK, CL\) cắt đoạn thẳng \(EF\) theo thứ tự tại \(M, N\).
Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(FM, MN, NE\) bằng nhau.
Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(FM, MN, NE\) bằng nhau.
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(PF\) và \(AK,\) \(I\) là giao điểm của \(PE\) và \(CL.\)
Vì \(O\) là giao của hai đường trung tuyến \(AK, CL\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Suy ra \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) và \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (tính chất trọng tâm)
Trong tam giác \(FPE\) có \( PE // AK\) hay \(QM // PE\)
Theo định lí Ta-lét ta có: \( \displaystyle {{FQ} \over {FP}} = {{FM} \over {FE}}\) (1)
Trong tam giác \(ALO\) có \(PF // CL\) hay \(FQ // LO\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}\) (2)
Trong tam giác \(ALC\) có \(PF // CL\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra \(\displaystyle{{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \)\(\displaystyle \Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}\)
Vì \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra \(\displaystyle{{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \)\( \displaystyle\Rightarrow FM = {1 \over 3}FE\)
Trong tam giác \(EPF\) có \(PF // CL\) hay \(NI // PF\)
Theo định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}\) (5)
Trong tam giác \(CKO\) có \(EI // OK\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}\) (6)
Trong tam giác \(CKA\) có \(PE // AK\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: \(\displaystyle {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}\) \(\displaystyle \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \)
Vì \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}\) (8)
Từ (5) và (8) suy ra: \(\displaystyle {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3} \)\( \displaystyle \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF \)
Ta có:
\(\eqalign{ & MN = EF - \left( {EN + FM} \right) \cr & = EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) \cr& = {1 \over 3}EF \cr} \)
Vậy \(EN = MN = MF.\)
Sử dụng:
- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(PF\) và \(AK,\) \(I\) là giao điểm của \(PE\) và \(CL.\)
Vì \(O\) là giao của hai đường trung tuyến \(AK, CL\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Suy ra \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) và \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (tính chất trọng tâm)
Trong tam giác \(FPE\) có \( PE // AK\) hay \(QM // PE\)
Theo định lí Ta-lét ta có: \( \displaystyle {{FQ} \over {FP}} = {{FM} \over {FE}}\) (1)
Trong tam giác \(ALO\) có \(PF // CL\) hay \(FQ // LO\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}\) (2)
Trong tam giác \(ALC\) có \(PF // CL\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra \(\displaystyle{{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \)\(\displaystyle \Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}\)
Vì \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra \(\displaystyle{{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \)\( \displaystyle\Rightarrow FM = {1 \over 3}FE\)
Trong tam giác \(EPF\) có \(PF // CL\) hay \(NI // PF\)
Theo định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}\) (5)
Trong tam giác \(CKO\) có \(EI // OK\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}\) (6)
Trong tam giác \(CKA\) có \(PE // AK\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: \(\displaystyle {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}\) \(\displaystyle \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \)
Vì \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}\) (8)
Từ (5) và (8) suy ra: \(\displaystyle {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3} \)\( \displaystyle \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF \)
Ta có:
\(\eqalign{ & MN = EF - \left( {EN + FM} \right) \cr & = EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) \cr& = {1 \over 3}EF \cr} \)
Vậy \(EN = MN = MF.\)