Google
Câu hỏi: Từ độ cao \(55,8 {\rm{m}}\) của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất \(n\) lần. Tính \(\lim {S_n}\).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi (un) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.
Ta có: \({u_1} = 55,8;{u_2} = \frac{1}{{10}}.{u_1};{u_3} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2}.{u_1};...;{u_n} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}.{u_1}.\)
Khi đó dãy (un) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 55,8 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1.\)
\( \Rightarrow {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{55,8}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 62\left( m \right)\)
Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m.
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi (un) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.
Ta có: \({u_1} = 55,8;{u_2} = \frac{1}{{10}}.{u_1};{u_3} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2}.{u_1};...;{u_n} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}.{u_1}.\)
Khi đó dãy (un) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 55,8 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1.\)
\( \Rightarrow {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{55,8}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 62\left( m \right)\)
Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m.