Bài 37 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a

Bốn điểm A(-1; 2; 3), B(2;-4; 3), C(4; 5; 6), D(3; 2; 1) có thuộc cùng một mặt phẳng không ?
Giải chi tiết:
Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6; 0),\overrightarrow {AC}  = (5; 3; 3),\overrightarrow {AD}  = (4; 0; - 2)\)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = ( - 18). 4 + (- 9). 0 + 39.(- 2) \)
\(=  - 150 \ne 0.\)
Vậy A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng.
Cách 2:
Ta có phương trình mp(ABC) là -6x-3y+13z-39=0.
Thay tọa độ của điểm D(3; 2; 1) vào phương trình mặt phẳng đó, ta có được :
\(-6.3-3.2+13.1-39=-50 \ne 0.\)
Điều đó chứng tỏ \(D \notin mp(ABC)\) hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Câu b

Tìm a để bốn điểm A(1; 2; 1), B(2; a; 0), C(4;-2; 5), D(6; 6; 6) thuộc cùng một mặt phẳng .
Giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({1; a - 2; - 1} \right) \cr 
& \overrightarrow {AC} \left({3; - 4; 4} \right) \cr 
& \overrightarrow {AD} \left({5; 4; 5} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left({ - 36; 5; 32} \right) \cr} \)
A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 36.1 + 5.\left({a - 2} \right) + 32.\left({ - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 5a = 78 \cr 
& \Leftrightarrow a = {{78} \over 5} \cr} \)

Câu c

Cho ba điểm A(1; 1; 1), B(3;-1; 1), C(-1; 0; 2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không ?
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì I=(2; 0; 1). Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (2; - 2; 0).\)
Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là
\(2(x - 2) - 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y - 4 = 0\)
hay \(x-y-2=0.\)
Thay tọa độ điểm C(-1; 0; 2) vào phương trình mặt phẳng đó, ta có:
\(- 1 - 0 - 2 =  - 3 \ne 0.\)
Vậy điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.