Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\).
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x; f''\left(x \right) = 6x - 6\)
\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 1; f\left( 1 \right) = - 1\)
Vậy \(I\left( {1; - 1} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{
x = X + 1 \hfill \cr
y = Y - 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(\eqalign{
& Y - 1 = {\left({X + 1} \right)^3} - 3{\left({X + 1} \right)^2} + 1 \cr
&= {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \cr& = {X^3} - 3X - 1\cr&\Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr} \)
Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) của nó nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Phương pháp giải:
Trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\), đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến \(y = ax + b\) nếu \(f\left( x \right) < ax + b\) với mọi \(x<1\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I(1;-1)\) đối với hệ trục tọa độ \(Oxy\) là:
y - f(1) = f' (1)(x-1) với f’(1) = -3; f(1) = -1
hay \(y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \) \(\Leftrightarrow y = - 3x + 2\)
Đặt \(g\left( x \right) = - 3x + 2\)
\(f\left( x \right) - g\left(x \right) \)\(= {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)\) \(= {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\)
Vì \(f\left( x \right) - g\left(x \right)<0\) với \(x<1\) và \(f\left( x \right) - g\left(x \right)>0\) với \(x>1\)
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\), \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Câu a
Xác định điểm \(I\) thuộc đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm \(I\) là nghiệm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\).Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x; f''\left(x \right) = 6x - 6\)
\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 1; f\left( 1 \right) = - 1\)
Vậy \(I\left( {1; - 1} \right)\)
Câu b
Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C)\).Lời giải chi tiết:
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{
x = X + 1 \hfill \cr
y = Y - 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(\eqalign{
& Y - 1 = {\left({X + 1} \right)^3} - 3{\left({X + 1} \right)^2} + 1 \cr
&= {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \cr& = {X^3} - 3X - 1\cr&\Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr} \)
Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) của nó nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Câu c
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\). Chứng minh rằng trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.Phương pháp giải:
Trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\), đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến \(y = ax + b\) nếu \(f\left( x \right) < ax + b\) với mọi \(x<1\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I(1;-1)\) đối với hệ trục tọa độ \(Oxy\) là:
y - f(1) = f' (1)(x-1) với f’(1) = -3; f(1) = -1
hay \(y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \) \(\Leftrightarrow y = - 3x + 2\)
Đặt \(g\left( x \right) = - 3x + 2\)
\(f\left( x \right) - g\left(x \right) \)\(= {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)\) \(= {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\)
Vì \(f\left( x \right) - g\left(x \right)<0\) với \(x<1\) và \(f\left( x \right) - g\left(x \right)>0\) với \(x>1\)
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\), \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!