Câu hỏi: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A', B', C' là các điểm đối xứng với điểm P lần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
Lời giải chi tiết
Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI.
Gọi
Ta chứng minh rằng AA' là đường trung trực của đoạn thẳng
Thật vậy, nếu ta kí kiệu
Và
Vậy
Ngoài ra, hiển nhiên
Suy ra AA' là đường trung trực của đoạn thẳng
Chứng minh tương tự, ta cũng có BB' là đường trung trực của đoạn thẳng
Suy ra AA', BB', CC' đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự.
Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI.
Gọi
Ta chứng minh rằng AA' là đường trung trực của đoạn thẳng
Thật vậy, nếu ta kí kiệu
Và
Vậy
Ngoài ra, hiển nhiên
Suy ra AA' là đường trung trực của đoạn thẳng
Chứng minh tương tự, ta cũng có BB' là đường trung trực của đoạn thẳng
Suy ra AA', BB', CC' đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự.