Google
Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\) và ba điểm \(P, Q, R\) lần lượt trên ba cạnh \(AB, CD, BC\). Tìm giao điểm \(S\) của \(AD\) và mặt phẳng \((PQR)\) trong hai trường hợp sau đây.
a) \(PR\) song song với \(AC\)
b) \(PR\) cắt \(AC\)
a) \(PR\) song song với \(AC\)
b) \(PR\) cắt \(AC\)
Phương pháp giải
Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Lời giải chi tiết
A)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left({ADC} \right) = AC\\\left({ABC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = PR\\\left({ADC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = d\\AC//PR\end{array} \right.\) \(\Rightarrow AC//PR//d\).
Mà \(Q \in CD \subset \left( {ADC} \right)\) và \(Q \in \left( {PRQ} \right)\) nên \(Q \in d\) hay \(d\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song \(AC\).
Trong \(\left( {ADC} \right)\), qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AD\) tại \(S\).
Vậy \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).
Cách khác:
Có thể sử dụng hệ quả sau:"Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".
mp(PQR) và mp(ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR // AC.
⇒ (PQR) ∩ (ACD) = Qt là đường thẳng song song với AC và PR.
Gọi Qt ∩ AD = S
⇒ S = AD ∩ (PQR).
b)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(PR\) với \(AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left({ADC} \right) = AC\\\left({ABC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = PR\\\left({ADC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = d\\AC \cap PR = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) \(\Rightarrow AC, PR, d\) đồng quy tại \(I\).
Trong \(\left( {ADC} \right)\), kéo dài \(IQ\) cắt \(AD\) tại \(S\).
Khi đó \(S \in AD\) và \(S \in \left( {PQR} \right)\) nên \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).
Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Lời giải chi tiết
A)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left({ADC} \right) = AC\\\left({ABC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = PR\\\left({ADC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = d\\AC//PR\end{array} \right.\) \(\Rightarrow AC//PR//d\).
Mà \(Q \in CD \subset \left( {ADC} \right)\) và \(Q \in \left( {PRQ} \right)\) nên \(Q \in d\) hay \(d\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song \(AC\).
Trong \(\left( {ADC} \right)\), qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AD\) tại \(S\).
Vậy \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).
Cách khác:
Có thể sử dụng hệ quả sau:"Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".
mp(PQR) và mp(ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR // AC.
⇒ (PQR) ∩ (ACD) = Qt là đường thẳng song song với AC và PR.
Gọi Qt ∩ AD = S
⇒ S = AD ∩ (PQR).
b)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(PR\) với \(AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left({ADC} \right) = AC\\\left({ABC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = PR\\\left({ADC} \right) \cap \left({PRQ} \right) = d\\AC \cap PR = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) \(\Rightarrow AC, PR, d\) đồng quy tại \(I\).
Trong \(\left( {ADC} \right)\), kéo dài \(IQ\) cắt \(AD\) tại \(S\).
Khi đó \(S \in AD\) và \(S \in \left( {PQR} \right)\) nên \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).