Google
Câu hỏi: Cho hình chữ nhật \(ABCD, AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\). Gọi \(H, K, L\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AD, BC, KC\) và \(IC\). Chứng minh hai hình thang \(JLKI\) và \(IHDC\) đồng dạng với nhau.
Phương pháp giải
Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:
- Phép vị tự tâm C tỉ số 2.
- Phép đối xứng tâm I.
Lời giải chi tiết
Ta có: J, L, K, I là trung điểm của CI, CK, CB, CA nên
\(\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CJ}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(J \right) = I\)
\(\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{CL}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(L \right) = K,\)
\(\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CK}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(K \right) = B,\)
\(\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CI}\) \({V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(I \right) = A\)
Do đó \({V_{\left( {C, 2} \right)}}\left({JLKI} \right) = IKBA\).
Lại có, \({D_I}\left( I \right) = I,{D_I}\left(K \right) = H\)
\({D_I}\left( B \right) = D,{D_I}\left(A \right) = C\)
Nên \({D_I}\left( {IKBA} \right) = IHDC\).
Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang \(JLKI\) thành hình thang \(IHDC\).
Vậy hai hình thang \(JLKI\) và hình thang \(IHDC\) đồng dạng.
Cách khác:
+ I là trung điểm AC; BD; HK
⇒ ĐI(H) = K; ĐI(D) = B; ĐI (C) = A.
⇒ Hình thang IKBA đối xứng với hình thang IHDC qua I (1)
+ J; L; K; I lần lượt là trung điểm của CI; CK; CB; CA
⇒ Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IKBA qua phép vị tự tâm C tỉ số 1/2.
⇒ Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâm C tỉ số 1/2.
⇒ IJKI và IHDC đồng dạng.
Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:
- Phép vị tự tâm C tỉ số 2.
- Phép đối xứng tâm I.
Lời giải chi tiết
Ta có: J, L, K, I là trung điểm của CI, CK, CB, CA nên
\(\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CJ}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(J \right) = I\)
\(\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{CL}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(L \right) = K,\)
\(\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CK}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(K \right) = B,\)
\(\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CI}\) \({V_{\left( {C, 2} \right)}}\left(I \right) = A\)
Do đó \({V_{\left( {C, 2} \right)}}\left({JLKI} \right) = IKBA\).
Lại có, \({D_I}\left( I \right) = I,{D_I}\left(K \right) = H\)
\({D_I}\left( B \right) = D,{D_I}\left(A \right) = C\)
Nên \({D_I}\left( {IKBA} \right) = IHDC\).
Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang \(JLKI\) thành hình thang \(IHDC\).
Vậy hai hình thang \(JLKI\) và hình thang \(IHDC\) đồng dạng.
Cách khác:
+ I là trung điểm AC; BD; HK
⇒ ĐI(H) = K; ĐI(D) = B; ĐI (C) = A.
⇒ Hình thang IKBA đối xứng với hình thang IHDC qua I (1)
+ J; L; K; I lần lượt là trung điểm của CI; CK; CB; CA
⇒ Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IKBA qua phép vị tự tâm C tỉ số 1/2.
⇒ Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâm C tỉ số 1/2.
⇒ IJKI và IHDC đồng dạng.