Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \(AB = AC, \widehat {BAC} = {90^ \circ }\). Biết M(1 ; -1) là trung điểm cạnh BC và \(G\left( {\frac{2}{3}; 0} \right)\) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 = 3\left( {\frac{2}{3} - 1} \right)\\{y_A} + 1 = 3(0 + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 0\\{y_A} = 2.\end{array} \right.\)
Vậy A có tọa độ (0; 2).
Đặt B(x; y) ta có :
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {MA} \\M{B^2} = M{A^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left({0 - 1} \right) + \left({y + 1} \right)\left({2 + 1} \right) = 0\\{\left({x - 1} \right)^2} + {\left({y + 1} \right)^2} = 1 + 9\end{array} \right.\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\{(3y + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 10\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\{(3y + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 10\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\10{y^2} + 20y = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0, x = 4\\y = - 2, x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy ta có tọa độ của điểm B và C như sau : B(4; 0), C(-2 ; -2) hoặc B(-2 ; -2), C(4; 0).
\(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 = 3\left( {\frac{2}{3} - 1} \right)\\{y_A} + 1 = 3(0 + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 0\\{y_A} = 2.\end{array} \right.\)
Vậy A có tọa độ (0; 2).
Đặt B(x; y) ta có :
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {MA} \\M{B^2} = M{A^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left({0 - 1} \right) + \left({y + 1} \right)\left({2 + 1} \right) = 0\\{\left({x - 1} \right)^2} + {\left({y + 1} \right)^2} = 1 + 9\end{array} \right.\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\{(3y + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 10\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\{(3y + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 10\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\10{y^2} + 20y = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0, x = 4\\y = - 2, x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy ta có tọa độ của điểm B và C như sau : B(4; 0), C(-2 ; -2) hoặc B(-2 ; -2), C(4; 0).