Bài 2.28 trang 62 SBT hình học 12

Phương pháp giải
Chứng minh các điểm A, A', M cùng nhìn đoạn thẳng một góc .
Lời giải chi tiết

A) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc mà d là hình chiếu vuông góc của trên (P) nên M1​ thuộc d.
Vì
Mặt khác nên ta suy ra . Do đó và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1​.
Ta có nên , ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M1​
Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra mà MM’ thuộc (Q), do đó
Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M1​ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1​. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M1​.
Ta có vì MM1​ = x và
Bán kính r của mặt cầu (S) bằng nên
b) Hình tứ giác A’M’MM1​ là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M.
Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng .
Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’.
Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.