Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với \(A = (2; 4), B(- 3; 1)\) và \(C = (3; - 1)\). Tính:
a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;
b) Tọa độ chân \(A'\) của đường cao vẽ từ đỉnh A.
a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;
b) Tọa độ chân \(A'\) của đường cao vẽ từ đỉnh A.
Phương pháp giải
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
b) \(A'\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(BC\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
A) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) trong đó \(\overrightarrow {BA} = (5; 3)\), \(\overrightarrow {BC} = (6; - 2)\)\(\Rightarrow \overrightarrow {BD} = \left( {11; 1} \right)\)
Giả sử D có tọa độ \(({x_D},{y_D})\)
Vì \(\overrightarrow {BD} = (11; 1)\) và B(-3; 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 3 = 11\\{y_D} - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = 2\end{array} \right.\)
Chú ý: Ta có thể dựa vào biểu thức vec tơ \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) để tính tọa độ điểm D.
b) Gọi \(A'\left( {x; y} \right)\) là chân đường cao vẽ từ A ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
Với \(\overrightarrow {AA'} = (x - 2; y - 4),\)\(\overrightarrow {BC} = (6; - 2),\) \(\overrightarrow {BA'} = (x + 3; y - 1)\)
\(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0\) \(\Leftrightarrow 6\left( {x - 2} \right) - 2\left({y - 4} \right) = 0\)
\(\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 6k\\y - 1 = - 2k\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{6} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}}\) \(\Leftrightarrow - 2\left( {x + 3} \right) = 6\left({y - 1} \right)\)
Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right). 6 - 2\left({y - 4} \right) = 0\\ - 2\left({x + 3} \right) = 6\left({y - 1} \right)\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 12 - 2y + 8 = 0\\ - 2x - 6 - 6y + 6 = 0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y - 4 = 0\\ - 2x - 6y = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{3}{5}\\{y_{A'}} = - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow A'\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{1}{5}} \right)\).
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
b) \(A'\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(BC\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
A) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) trong đó \(\overrightarrow {BA} = (5; 3)\), \(\overrightarrow {BC} = (6; - 2)\)\(\Rightarrow \overrightarrow {BD} = \left( {11; 1} \right)\)
Giả sử D có tọa độ \(({x_D},{y_D})\)
Vì \(\overrightarrow {BD} = (11; 1)\) và B(-3; 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 3 = 11\\{y_D} - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = 2\end{array} \right.\)
Chú ý: Ta có thể dựa vào biểu thức vec tơ \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) để tính tọa độ điểm D.
b) Gọi \(A'\left( {x; y} \right)\) là chân đường cao vẽ từ A ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
Với \(\overrightarrow {AA'} = (x - 2; y - 4),\)\(\overrightarrow {BC} = (6; - 2),\) \(\overrightarrow {BA'} = (x + 3; y - 1)\)
\(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0\) \(\Leftrightarrow 6\left( {x - 2} \right) - 2\left({y - 4} \right) = 0\)
\(\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 6k\\y - 1 = - 2k\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{6} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}}\) \(\Leftrightarrow - 2\left( {x + 3} \right) = 6\left({y - 1} \right)\)
Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right). 6 - 2\left({y - 4} \right) = 0\\ - 2\left({x + 3} \right) = 6\left({y - 1} \right)\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 12 - 2y + 8 = 0\\ - 2x - 6 - 6y + 6 = 0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y - 4 = 0\\ - 2x - 6y = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{3}{5}\\{y_{A'}} = - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow A'\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{1}{5}} \right)\).