Bài 19 trang 57 SBT Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 2a, =300​. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với mp(ABC)

Câu 1

Xác định vị trí điểm B1​ trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BB1​ tiếp xúc với Cy.
Xác định điểm C1​ trên Cy sao cho mặt cầu đường kính AC1​ tiếp xúc với Bx.
Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BB1​ thì mặt cầu đường kính BB1 ​tiếp xúc với Cy tại J khi và chỉ khi .
Mặt khác, dễ thấy IJ = BC = 2a.
Vậy BB1 ​= 4a. Hệ thức này xác định vị trí điểm B1​.
Gọi K là trung điểm của AC1​ thì mặt cầu đường kính AC1​ tiếp xúc với Bx khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm K đến Bx bằng , tức là hay , trong đó K' là trung điểm của AC.
Dễ thấy AB = a, , từ đó

Như vậy, mặt cầu đường kính AC1 ​tiếp xúc với Bx khi và chỉ khi , từ đó , tức là .
Hệ thức này xác định vị trí điểm C1​. (Khi đó

Câu 2

Với các điểm B1​, C1​ tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCC1​B1​ có mặt cầu ngoại tiếp không? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.
Lời giải chi tiết:
Khi BB1 ​= 4a, CC1 ​= 2a thì là hình thang vuông tại B, C với hai đáy có độ dài khác nhau nên không có đường tròn ngoại tiếp. Vậy đa diện không có mặt cầu ngoại tiếp.
Dễ thấy A. BCC1​B1​ là hình chóp đỉnh A, đáy là BCC1​B1​ và mp(ABC) vuông góc với mp(BCC1​B1​). Từ đó

(AH là đường cao của tam giác vuông ABC)
Hay