Bài 164 trang 101 SBT Toán 8 tập 1

Phương pháp giải
- Vận dụng tính chất của tam giác cân và tính chất về giao điểm hai đường chéo của hình vuông.
- Xác định khoảng cách giữa I với đoạn thẳng AB.
Lời giải chi tiết

a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB
⇒ CE // DF // IH (cùng vuông với AB)
Suy ra DCEF là hình thang.
Xét hình thang DCEF có:
CE // DF // IH và IC = ID (vì I là trung điểm của CD)
Nên H là trung điểm cạnh EF
Suy ra IH là đường trung bình của hình thang DCEF
(1)
Vì C là tâm hình vuông AMNP nên (tính chất) và
⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C
Lại có CE ⊥ AM hay CE là đường cao của tam giác cân CAM
⇒ CE cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ CE = AM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vì D là tâm hình vuông BMLK nên (tính chất) và
⇒ ∆ DBM vuông cân tại D
Có DF ⊥ BM nên DF là đường cao của tam giác cân DBM
⇒ DF cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ DF = BM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vậy CE + DF = AM + BM
= (AM + BM) = AB =
Từ (1) ta suy ra:

b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN
Ta có: AN ⊥ MP (2) (tính chất hình vuông APNM)
BL ⊥ MK (3) (tính chất hình vuông BMLK)
Lại có: (do APNM là hình vuông nên MP là phân giác góc AMN)
(do BMLK là hình vuông nên MK là phân giác góc BML)

Suy ra MP ⊥ MK (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra BL ⊥ AN
Lại có (do APNM là hình vuông)
⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định.
Khi M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng
Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng .