Google
Câu hỏi:
Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.
Giải chi tiết:
\(\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 2 \hfill \cr m \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2 \hfill \cr m \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = (- 2; m + 2; m + 6). \cr & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = - 2 + 2m + 4 + m + 6 = 3m + 8. \cr} \)
\(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng \(\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\overrightarrow {\rm{w}} = 0 \Leftrightarrow 3m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = - {8 \over 3}.\)
\(b) m \ne 1\) và \(m \ne 9.\)
Giải chi tiết:
Gọi vec tơ phải tìm là \(\overrightarrow {\rm{w}} (x; y; z).\)
Theo giả thiết \(\left| {\overrightarrow {\rm{w}} } \right| = {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
\(\eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \cos {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr&\Rightarrow {{x + y + 2z} \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Rightarrow x + y + 2z = \sqrt 3 . \cr} \)
Mặt khác \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng nên \(\overrightarrow {\rm{w}} = k\overrightarrow u + l\overrightarrow v .\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = k - l \hfill \cr y = k + 3l \hfill \cr z = 2k + l \hfill \cr} \right. \Rightarrow 5x + 3y - 4z = 0.\)
Vậy ta có hệ phương trình :
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \hfill \cr x + y + 2z = \sqrt 3 \hfill \cr 5x + 3y - 4z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 5z - {{3\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr y = {{5\sqrt 3 } \over 2} - 7z \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow 150{z^2} - 100\sqrt 3 z + 49 = 0 \cr & \Rightarrow z = {{(10 \pm \sqrt 2)\sqrt 3 } \over {30}} \Rightarrow x = {{\left({1 \pm \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6},\cr&y = {{\left({5 \pm 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}}. \cr} \)
Kết luận : Có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán :
\(\left( {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left({5 - 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 + \sqrt 2)\sqrt 3 } \over {30}}} \right) \)
\(\left( {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left({5 + 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 - \sqrt 2)\sqrt 3 } \over {30}}} \right) \)
Câu a, b
Cho \(\overrightarrow u (2; - 1; 1),\overrightarrow v (m; 3; - 1),\overrightarrow {\rm{w}} (1; 2; 1).\)Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.
Giải chi tiết:
\(\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 2 \hfill \cr m \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2 \hfill \cr m \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = (- 2; m + 2; m + 6). \cr & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = - 2 + 2m + 4 + m + 6 = 3m + 8. \cr} \)
\(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng \(\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\overrightarrow {\rm{w}} = 0 \Leftrightarrow 3m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = - {8 \over 3}.\)
\(b) m \ne 1\) và \(m \ne 9.\)
Câu c
Cho \(\overrightarrow u (1; 1; 2),\overrightarrow v (- 1; 3; 1).\) Tìm vec tơ đơn vị đồng phẳng với \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) và tạo với \(\overrightarrow u \) góc 450.Giải chi tiết:
Gọi vec tơ phải tìm là \(\overrightarrow {\rm{w}} (x; y; z).\)
Theo giả thiết \(\left| {\overrightarrow {\rm{w}} } \right| = {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
\(\eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \cos {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr&\Rightarrow {{x + y + 2z} \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Rightarrow x + y + 2z = \sqrt 3 . \cr} \)
Mặt khác \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng nên \(\overrightarrow {\rm{w}} = k\overrightarrow u + l\overrightarrow v .\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = k - l \hfill \cr y = k + 3l \hfill \cr z = 2k + l \hfill \cr} \right. \Rightarrow 5x + 3y - 4z = 0.\)
Vậy ta có hệ phương trình :
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \hfill \cr x + y + 2z = \sqrt 3 \hfill \cr 5x + 3y - 4z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 5z - {{3\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr y = {{5\sqrt 3 } \over 2} - 7z \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow 150{z^2} - 100\sqrt 3 z + 49 = 0 \cr & \Rightarrow z = {{(10 \pm \sqrt 2)\sqrt 3 } \over {30}} \Rightarrow x = {{\left({1 \pm \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6},\cr&y = {{\left({5 \pm 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}}. \cr} \)
Kết luận : Có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán :
\(\left( {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left({5 - 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 + \sqrt 2)\sqrt 3 } \over {30}}} \right) \)
\(\left( {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left({5 + 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 - \sqrt 2)\sqrt 3 } \over {30}}} \right) \)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!