Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((O)\) và hai đường kính \(AB, CD\) vuông góc với nhau. Lấy một điểm \(M\) trên cung \(AC\) rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn \((O)\) tại \(M.\) Tiếp tuyến này cắt đường thẳng \(CD\) tại \(S.\) Chứng minh rằng \(\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}.\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \((O)\) có \(SM \bot OM\) (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \Delta OMS\) vuông tại \(M\)
Nên \(\widehat {MSO} + \widehat {MOS} = {90^o}\)
Lại có: \(AB \bot CD\) \((gt)\)
\( \Rightarrow \widehat {MOS} + \widehat {MOA} = {90^o}\)
Suy ra: \(\widehat {MSO} = \widehat {MOA}\) hay \(\widehat {MSD} = \widehat {MOA}\) \((1)\)
Mà \(\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AM}\)) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}\)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \((O)\) có \(SM \bot OM\) (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \Delta OMS\) vuông tại \(M\)
Nên \(\widehat {MSO} + \widehat {MOS} = {90^o}\)
Lại có: \(AB \bot CD\) \((gt)\)
\( \Rightarrow \widehat {MOS} + \widehat {MOA} = {90^o}\)
Suy ra: \(\widehat {MSO} = \widehat {MOA}\) hay \(\widehat {MSD} = \widehat {MOA}\) \((1)\)
Mà \(\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AM}\)) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}\)