Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lời giải chi tiết
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$
$f$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ nên $f^{\prime }\left(0\right)=0\Rightarrow c=0$
$f\left(0\right)=0\Rightarrow d=0$. Vậy $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2$
$f$ đạt cực đại tại điểm $x=1$ nên $f^{\prime }\left(1\right)=0\Rightarrow 3a+2b=0$
$f\left(1\right)=1\Rightarrow a+b=1$
Ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{c}3a+2b=0\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-2\hfill \\ b=3\hfill \end{array}$
Thử lại với $a=-2,b=3,c=d=0$ ta được:
$f\left(x\right)=-2x^3+3x^2$
$f^{\prime }\left(x\right)=-6x^2+6x=-6x(x-1)$
$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$
$f^{″}\left(x\right)=-12x+6$
$f^{″}\left(0\right)=6>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ và $f\left(0\right)=0$
$f^{″}\left(1\right)=-6<0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$ và $f\left(1\right)=1$
Vậy $a=-2;b=3;c=d=0$.