Google
Câu hỏi: Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0, f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1, f\left( 1 \right) = 1.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)
\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)
\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)
\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = 3 \hfill \cr} \right.\)
Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:
\(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2}\)
\(f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x=-6x(x-1)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.\)
\(f''\left( x \right) = - 12x + 6\)
\(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) và \(f\left( 0 \right) = 0\)
\(f''\left( 1 \right) = - 6 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 1\)
Vậy \(a = - 2; b = 3; c = d = 0\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)
\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)
\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)
\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = 3 \hfill \cr} \right.\)
Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:
\(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2}\)
\(f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x=-6x(x-1)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.\)
\(f''\left( x \right) = - 12x + 6\)
\(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) và \(f\left( 0 \right) = 0\)
\(f''\left( 1 \right) = - 6 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 1\)
Vậy \(a = - 2; b = 3; c = d = 0\).