Bài 12 trang 225 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.

Câu hỏi: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O.  Gọi A là điểm cố định và M là điểm thay đổi cùng thuộc đường tròn đáy hình nón. Đặt
 .  Gọi P là góc giữa mp(SAM) và mặt phẳng chứa đáy hình nón; khoảng cách từ O đến mp(SAM) bằng a.

Câu 1

Tính thể tích khối nón đã cho theo a, , .
Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AM thì OI AM và SI AM từ đó . Gọi H là hình chiếu của O trên SI thì OH  mp(SAM), từ đó OH = a.
Ta có


Từ đó thể tích khối nón đã cho là

Câu 2

Xác định điểm M để tam giác SAM có diện tích lớn nhất.
Giải chi tiết:
Ta có
Vì SA không đổi nên lớn nhất  lớn nhất.
Dễ thấy  (B là điểm đối xứng của A qua O). Vậy có hai trường hợp :
a)  Khi đó ,  từ đó  lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B.
b)  Khi đó  lớn nhất khi và chỉ khi . Vậy có hai vị trí của M trên đường tròn đáy hình nón để diện tích tam giác SAM lớn nhất, đó là hai điểm M sao cho

Câu 3

Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(SAM) thuộc một đường tròn cố định.
Giải chi tiết:
Vì OH  mp(SAM) nên OH  SA. Vậy H thuộc mp(P) đi qua O và vuông góc với SA tại K. Ta có (P) là mặt phẳng cố định, ngoài ra , tức là H thuộc đường tròn đường kính OK trong mặt phẳng (P) nêu trên, tất nhiên đường tròn này cố định.