Bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1

Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết

Đặt độ dài $AB=a,$ $BC=b,$ $CD=c,$ $AD=d$
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$
Trong $∆OAB,$ ta có:
$OA+OB>a$ (bất đẳng thức tam giác)$(1)$
Trong $∆OCD$ ta có:
$OC+OD>c$ (bất đẳng thức tam giác)$(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$OA+OB+OC+OD>a+c$
Hay $AC+BD>a+c(\ast )$
Trong $∆OAD$ ta có: $OA+OD>d$ (bất đẳng thức tam giác) $(3)$
Trong $∆OBC$ ta có: $OB+OC>b$ (bất đẳng thức tam giác) $(4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $OA+OD+OB+OC>b+d$
$\Rightarrow AC+BD>b+d(\ast \ast )$
Từ $(\ast )$ và $(\ast \ast )$ suy ra: $2(AC+BD)>a+b+c+d$
$\Rightarrow AC+BD>{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$
Trong $∆ABC$ ta có: $AC<AB+BC=a+b$ (bất đẳng thức tam giác)
Trong $∆ADC$ ta có: $AC<AD+DC=c+d$ (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: $2AC<a+b+c+d$
$AC<{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$ $(5)$
Trong $∆ABD$ ta có: $BD<AB+AD=a+d$ (bất đẳng thức tam giác)
Trong $∆BCD$ ta có: $BD<BC+CD=b+c$ (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: $2BD<a+b+c+d$
$BD<{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$ $(6)$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $AC+BD<a+b+c+d$
Vậy ${\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$