The Collectors

Bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
1631634664068.png

Đặt độ dài \(AB = a,\) \(BC = b,\) \( CD = c,\) \(AD = d\)
Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Trong \(∆OAB,\) ta có:
\(OA + OB > a\) (bất đẳng thức tam giác)\( (1)\)
Trong \(∆OCD\) ta có:
\(OC + OD > c\) (bất đẳng thức tam giác)\( (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:
\(OA + OB + OC + OD > a + c\)
Hay \(AC + BD > a + c (*)\)
Trong \(∆OAD\) ta có: \(OA + OD > d\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)
Trong \(∆OBC\) ta có: \(OB + OC > b\) (bất đẳng thức tam giác) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(OA + OD + OB + OC > b + d\)
\(⇒ AC + BD > b + d (**)\)
Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra: \(2(AC + BD) > a + b + c + d\)
\(⇒ AC + BD > \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)
Trong \(∆ABC\) ta có: \(AC < AB + BC = a + b\) (bất đẳng thức tam giác)
Trong \(∆ADC\) ta có: \(AC < AD + DC = c + d\) (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: \(2AC < a + b + c + d\)
\(AC < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\) \((5)\)
Trong \(∆ABD\) ta có: \(BD < AB + AD = a + d\) (bất đẳng thức tam giác)
Trong \(∆BCD\) ta có: \(BD < BC + CD = b + c\) (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: \(2BD < a + b + c + d\)
\(BD < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\) \((6)\)
Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(AC + BD < a + b + c + d\)
Vậy \(\displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)
 

Quảng cáo

Back
Top