Bài 10 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng :

Câu a​

Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song và là một phép tịnh tiến ;
Lời giải chi tiết:

Lấy hai điểm và lần lượt nằm trên và sao cho .
Khi đó véc tơ AB có hướng không đổi từ (P) đến (Q) và độ lớn của véc tơ AB chính là khoảng cách giữa (P) và (Q).
Với một điểm bất kì, ta gọi là điểm đối xứng với qua mp và là điểm đối xứng với qua mp.
Như vậy là ảnh của qua phép hợp thành của phép đối xứng qua mp và phép đối xứng qua mp.
Gọi và lần lượt là trung điểm của  và  thì ta có:



Như vậy phép hợp thành nói trên chính là phép tịnh tiến theo vectơ (véc tơ này có hướng cùng hướng với  và độ lớn gấp 2 lần AB không đổi).

Câu b​

Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng và vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
Lời giải chi tiết:

Giả sử  và
Gọi  là điểm đối xứng của qua và là trung điểm của .
Gọi là điểm đối xứng của  qua và là trung điểm của
Gọi là giao điểm của với
Ta có

Ta có  là hình chữ nhật và




Suy ra là trung điểm của , mặt khác .
Vậy phép hợp thành của phép đối xứng qua mp và phép đối xứng qua mp với  là phép đối xứng qua đường thẳng .
Chú ý:
Có thể giải thích như sau:
Gọi d = (P) ∩ (Q). M là một điểm bất kì. Giả sử phép đối xứng qua (P) biến M thành M’ và phép đối xứng qua (Q) biến M’ thành M’’.
I ∈ (P) và I ∈ (Q)
I ∈ d mà d ⊥ MM’’ (do d <=> (Q). Vậy d là đường trung trực của MM’’.
Trường hợp M ∈ (Q) nhưng M ∈ d tương tự.
Trường hợp 3. Nếu M ∈(P) và M ∈(Q) thì M, M’, M’’ phân biệt. Vì I = (P)∩ (Q) mà (P), (Q) lần lượt là mặt phẳng trung trực của MM’, M’M’’ nên d ⊥ (MM’M’’) => d ⊥ MM'' (*).
Mặt khác, gọi I là trung điểm của MM’’, do ΔMM’M’’ vuông tại M’ nên IM = IM’ = IM’’ => I đồng thời thuộc mặt phẳng trung trực của MM’ và M’M’’ hay I ∈(P) và I ∈(Q)=>I ∈d (**)
Từ (*), (**) ta có d là đường trung trực của đoạn MM’’ (3)
Kết luận: từ (1), (2), (3) ta thấy: nếu thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) thì mỗi điểm M ∈ d (với d ∈(P)∩ (Q) biến thành chính nó, mỗi điểm M ∈d biến thành M’’ sao cho d là trung trực của MM’’.
Đó chính là phép đối xứng qua đường thẳng d.