Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12

Phương pháp giải
- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.
- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hàm số $f(x)=3x^5+15x-8$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.
Có $y^{\prime }=15x^4+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Mà $f(0)=-8<0,f(1)=10>0$$\Rightarrow f\left(0\right).F\left(1\right)<0$ nên tồn tại ít nhất một số $x_0\in (0;1)$ sao cho $f\left(x_0\right)=0$, tức là phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm.
Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).
Cách khác:
Hàm số $f(x)=3x^5+15x-8$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.
Có $y^{\prime }=15x^4+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có:
$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(3x^5+15x-8\right)\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^5\left(3+\frac{15}{x^4}-\frac{8}{x^5}\right)\right]=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(3x^5+15x-8\right)\\ =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^5\left(3+\frac{15}{x^4}-\frac{8}{x^5}\right)\right]=+\mathrm{\infty }\end{array}$
Bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.