Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng phương trình \(3{x^5} + 15x-8 = 0\) chỉ có một nghiệm thực.
Phương pháp giải
- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.
- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Mà \(f(0) = - 8 < 0, f(1) = 10 > 0\)\(\Rightarrow f\left( 0 \right). F\left(1 \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in (0; 1)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\), tức là phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.
Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).
Cách khác:
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left({3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^5}\left({3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^5}\left({3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = + \infty
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.
- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.
- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Mà \(f(0) = - 8 < 0, f(1) = 10 > 0\)\(\Rightarrow f\left( 0 \right). F\left(1 \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in (0; 1)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\), tức là phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.
Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).
Cách khác:
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left({3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^5}\left({3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^5}\left({3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = + \infty
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.