Bài 1.7 trang 8 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Câu câu a

a) $\tan x>\sin x$, $0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
Phương pháp giải:
Xét hàm $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$ và chứng minh nó đồng biến trên $\left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Giải chi tiết:
Xét hàm $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$ trên khoảng $\left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ ta có:
$f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-\cos x$ $={\displaystyle \frac{1-{\cos }^{3}x}{{\cos }^{2}x}}>0$ với $\mathrm{\forall }x\in \left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ vì $\cos x<1$ với mọi $x\in \left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ nên ${\cos }^{3}x<1,\mathrm{\forall }x\in \left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$
Do đó hàm số $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$ đồng biến trên $\left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$
$\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(0\right)=0$ $\Rightarrow \tan x-\sin x>0\iff \tan x>\sin x$  với mọi $x\in \left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$.

Câu câu b

b) $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}<\sqrt{1+x}<1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ với $x>0$
Phương pháp giải:
Xét các hàm số $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}-\sqrt{1+x}$ và $g\left(x\right)=\sqrt{1+x}-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và chứng minh chúng nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Giải chi tiết:
Xét $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}-\sqrt{1+x}$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}$.
Vì $x>0$ nên $f^{\prime }\left(x\right)<{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}.0-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{0+1}}}=0$ nên hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$
Do đó $f\left(x\right)<f\left(0\right)=0$ $\Rightarrow 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}-\sqrt{1+x}<0$ $\iff 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}<\sqrt{1+x}\left(1\right)$
Xét $g\left(x\right)=\sqrt{1+x}-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Vì $x>0$ nên $g^{\prime }\left(x\right)<{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{0+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$ hay $y=g\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$
Do đó $g\left(x\right)<g\left(0\right)=0$ hay $\sqrt{1+x}-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}x<0$ $\iff \sqrt{1+x}<1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x\left(2\right)$
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta được $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}<\sqrt{1+x}<1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ với $x>0$. (đpcm)