Bài 1.59 trang 18 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số \(f(x) = \tan (\pi x)\).

Câu a

Tìm tập xác định của hàm số \(y = f(x)\);
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(y = \tan (\pi x)\) xác định khi và chỉ khi \(\cos \left( {\pi x} \right) \ne 0.\)
Mặt khác
\(\cos \left( {\pi x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {\pi x}={\pi \over 2} + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\left( {k \in Z} \right)\)
Từ đó suy ra tập xác định của hàm số \(y = \tan (\pi x)\) là: \(D = R\backslash \left\{ {{1 \over 2} + k|k \in Z} \right\}\)

Câu b

Chứng minh rằng với mọi số nguyên k, ta có \(f(x + k) = f(x)\) . Từ đó suy ra \(y = f(x)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 1;
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(k \in Z,\) ta có
\(f\left( {x + k} \right) = \tan \left[ {\pi \left({x + k} \right)} \right] \)
\(= \tan \left( {\pi x + k\pi } \right) \)
\(= \tan \left( {\pi x} \right) = f\left(x \right)\)
Trong các số nguyên dương, số 1 là nhỏ nhất.
Do đó \(\tan (\pi x)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 1\).

Câu c

Cho biết sự biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) trên mỗi khoảng \(\left( { - {1 \over 2} + k;{1 \over 2} + k} \right), k \in Z\);
Lời giải chi tiết:
Ta thấy
\(- {1 \over 2} + k < x < {1 \over 2} + k\)
\(\Leftrightarrow - {\pi \over 2} + k\pi < \pi x < {\pi \over 2} + k\pi \)
Từ đó suy ra hàm số \(\tan (\pi x)\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - {1 \over 2} + k;{1 \over 2} + k} \right), k \in Z\)

Câu d

Vẽ đồ thị của hàm số đó.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị của hàm số có dạng như hình vẽ: