Bài 1.33 trang 17 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I của đường cong
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\)           (C)
Biết rằng hoành độ của I là nghiệm của phương trình y'' = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = 3{x^2} - 6x\\
y'' = 6x - 6\\
y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y\left(1 \right) = 2\\
\Rightarrow I\left({1; 2} \right)
\end{array}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại I là:
\(k = y'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 6.1 =  - 3\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 3\left( {x - 1} \right) + 2\)\(\Leftrightarrow y =  - 3x + 5\)
Vậy I (1; 2); phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I là y = -3x + 5.

Câu b

Xét vị trí tương đối của đường cong (C) và tiếp tuyến tại điểm I của (C) (tức là xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới tiếp tuyến)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} + 4 > - 3x + 5\\
\Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 > 0\\
\Leftrightarrow {\left({x - 1} \right)^3} > 0\\
\Leftrightarrow x > 1
\end{array}\)
Do đó
+) trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến
+) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến.