Bài 1.23 trang 16 SBT giải tích 12

Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp điều kiện cần:
- Thay $x=1$ vào phương trình $y^{\prime }=0$ tìm $m$.
- Thay $m$ vừa tìm được vào hàm số và kiểm tra.
Lời giải chi tiết
$y=x^3-m{x}^2+\left(m-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)x+5$
Ta có:  $y^{\prime }=3x^2-2mx+m-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
Hàm số có cực trị tại $x=1$$\Rightarrow y^{\prime }\left(1\right)=3-2m+m-{\displaystyle \frac{2}{3}}=0$$\iff m={\displaystyle \frac{7}{3}}$.
Thử lại, với $m={\displaystyle \frac{7}{3}}$ thì hàm số đã cho trở thành: $y=x^3-{\displaystyle \frac{7}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{5}{3}}x+5$
Ta có:  $y^{\prime }=3x^2-{\displaystyle \frac{14}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$; $y^{″}=6x-{\displaystyle \frac{14}{3}}$
Vì $y^{″}\left(1\right)=6-{\displaystyle \frac{14}{3}}>0$  nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và  $y_{CT}=y\left(1\right)={\displaystyle \frac{16}{3}}$.