Google
Câu hỏi: Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Phương pháp giải
Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:
\(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = - \alpha + k2\pi }\end{array} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)
Lời giải chi tiết
Vật đi qua vị trí cân bằng thì x = 0
Khi đó
\(\begin{array}{l}2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5t - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\5t = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\t = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.;k \in Z\end{array}\)
Với \(t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì
\(\begin{array}{l}0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 2\pi + k2\pi < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 1 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow - 1 < k < 13,32;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\};k \in Z\end{array}\)
Với \(t = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì
\(\begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < - \pi + k2\pi < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < - 0,5 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow 0,5 < k < 14,82;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14} \right\};k \in Z\end{array}\)
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 28 lần.
Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:
\(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = - \alpha + k2\pi }\end{array} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)
Lời giải chi tiết
Vật đi qua vị trí cân bằng thì x = 0
Khi đó
\(\begin{array}{l}2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5t - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\5t = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\t = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.;k \in Z\end{array}\)
Với \(t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì
\(\begin{array}{l}0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 2\pi + k2\pi < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 1 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow - 1 < k < 13,32;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\};k \in Z\end{array}\)
Với \(t = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì
\(\begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < - \pi + k2\pi < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < - 0,5 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow 0,5 < k < 14,82;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14} \right\};k \in Z\end{array}\)
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 28 lần.