Bài 1.20 trang 16 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Câu a

$y=\sin 2x$
Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn $\left[0;\pi \right]$
- Tính $y^{\prime }$, tìm nghiệm trong đoạn $\left[0;\pi \right]$.
- Tính $y^{″}$ và xét dấu của $y^{″}$ tại các điểm tìm được ở trên.
- Kết luận:
+ Tại điểm mà $y^{″}$ mang dấu âm thì là điểm cực đại.
+ Tại điểm mà $y^{″}$ mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
$y=\sin 2x$
Hàm số có chu kỳ $T=\pi$
Xét hàm số $y=\sin 2x$ trên đoạn $[0;\pi ]$ , ta có:
$y^{\prime }=2\cos 2x$
$y^{\prime }=0\iff \cos 2x=0$ $\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$
Mà $x\in [0;\pi ]\Rightarrow [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}\hfill \\ x=\frac{3\pi }{4}\hfill \end{array}$
Lại có: $y^{″}=-4\sin 2x$;
$y^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-4\sin \left(2.{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ và $y_{CD}=y(\frac{\pi }{4})=1$
$y^{″}\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-4\sin \left(2.{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ và $y_{CT}=y(\frac{3\pi }{4})=-1$
Vậy trên R ta có:
$y_{CĐ}=y(\frac{\pi }{4}+k\pi )=1;$
$y_{CT}=y(\frac{3\pi }{4}+k\pi )=-1,k\in Z$
Cách khác:
y = sin2x
Hàm số có chu kỳ T = π
Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0; π], ta có:
y' = 2cos2x
y' = 0 $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}\\ x=\frac{3\pi }{4}\end{array}$
Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0; π] , hàm số đạt cực đại tại π/4, đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD​ = y(π/4) = 1; yCT​ = y(3π/4) = −1
Vậy trên R ta có:
yCĐ​ = y(π/4 + kπ) = 1;
yCT​ = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z.

Câu b

$y=\cos x-\sin x$
Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$
- Tính $y^{\prime }$, tìm nghiệm trong đoạn $[-\pi ;\pi ]$.
- Tính $y^{″}$ và xét dấu của $y^{″}$ tại các điểm tìm được ở trên.
- Kết luận:
+ Tại điểm mà $y^{″}$ mang dấu âm thì là điểm cực đại.
+ Tại điểm mà $y^{″}$ mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
Hàm số tuần hoàn chu kỳ $\pi$ nên ta xét trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$.
Ta có: $y^{\prime }=-\sin x-\cos x=0$ $\iff \sin x=-\cos x$ $\iff \tan x=-1\iff x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$.
Do $x\in \left[-\pi ;\pi \right]$ nên $[\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\\ x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\end{array}$.
Lại có $y^{″}=-\cos x+\sin x$;
+) $y^{″}\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-\sqrt{2}<0$ nên $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ là điểm cực đại của hàm số và $y_{CD}=y\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\sqrt{2}$.
+) $y^{″}\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)+\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=\sqrt{2}>0$ nên $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ là điểm cực tiểu của hàm số và $y_{CT}=y\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-\sqrt{2}$.
Vậy trên $\mathbb{R}$ thì $x_{CD}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$ là điểm cực đại của hàm số và $y_{CD}=y\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \right)=\sqrt{2}$; $x_{CT}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+k\pi$ là điểm cực tiểu của hàm số và $y_{CT}=y\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+k\pi \right)=-\sqrt{2}$
Cách khác:
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π; π].
y′ = − sinx – cosx
y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z
Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π; π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π, đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và
yCĐ​ = y(−π4 + k2π) = √2;
yCT​ = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

Câu c

$y={\sin }^{2}x$
Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn $\left[0;\pi \right]$
- Tính $y^{\prime }$, tìm nghiệm trong đoạn $\left[0;\pi \right]$.
- Lập bảng biến thiên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y={\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.
Ta xét hàm số $y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$ trên đoạn $[0;\pi ]$.
y′ = sin2x
$y^{\prime }=0\iff \sin 2x=0\iff x={\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$
Vì $x\in \left[0;\pi \right]$ nên $[\begin{array}{l}x=0\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ x=\pi \end{array}$.
Lập bảng biến thiên trên đoạn $\left[0,\pi \right]$

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=k.\frac{\pi }{2}$ với $k$ chẵn, đạt cực đại tại $x=k.\frac{\pi }{2}$ với $k$ lẻ, và $y_{CT}=y(2m\pi )=0$; $y_{CĐ}=y((2m+1)\frac{\pi }{2})=1(m\in Z)$.