Bài 1.20 trang 16 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Câu a

Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn
- Tính , tìm nghiệm trong đoạn .
- Tính và xét dấu của tại các điểm tìm được ở trên.
- Kết luận:
+ Tại điểm mà mang dấu âm thì là điểm cực đại.
+ Tại điểm mà mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:

Hàm số có chu kỳ
Xét hàm số trên đoạn , ta có:


Mà
Lại có: ;
nên hàm số đạt cực đại tại và
nên hàm số đạt cực tiểu tại và
Vậy trên R ta có:


Cách khác:
y = sin2x
Hàm số có chu kỳ T = π
Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0; π], ta có:
y' = 2cos2x
y' = 0
Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0; π] , hàm số đạt cực đại tại π/4, đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD​ = y(π/4) = 1; yCT​ = y(3π/4) = −1
Vậy trên R ta có:
yCĐ​ = y(π/4 + kπ) = 1;
yCT​ = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z.

Câu b

Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn
- Tính , tìm nghiệm trong đoạn .
- Tính và xét dấu của tại các điểm tìm được ở trên.
- Kết luận:
+ Tại điểm mà mang dấu âm thì là điểm cực đại.
+ Tại điểm mà mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn .
Ta có: .
Do nên .
Lại có ;
+) nên là điểm cực đại của hàm số và .
+) nên là điểm cực tiểu của hàm số và .
Vậy trên thì là điểm cực đại của hàm số và ; là điểm cực tiểu của hàm số và
Cách khác:
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π; π].
y′ = − sinx – cosx
y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z
Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π; π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π, đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và
yCĐ​ = y(−π4 + k2π) = √2;
yCT​ = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

Câu c

Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn
- Tính , tìm nghiệm trong đoạn .
- Lập bảng biến thiên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ .
Ta xét hàm số trên đoạn .
y′ = sin2x

Vì nên .
Lập bảng biến thiên trên đoạn

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại với chẵn, đạt cực đại tại với lẻ, và ; .