Google
Câu hỏi: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\)
B. \({x^2} - 5x + 6 = 0\)
C. \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)
D. \(3\tan x - 4 = 0\)
A. \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\)
B. \({x^2} - 5x + 6 = 0\)
C. \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)
D. \(3\tan x - 4 = 0\)
Phương pháp giải
Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Lời giải chi tiết
vì: Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - 7\) có \(f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}\left({5{x^2} + 3} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mặt khác \(f\left( 0 \right) = - 7 < 0, f\left(2 \right) = 33 > 0\) nên \(f\left( 0 \right). F\left(2 \right) < 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; 2} \right]\) nên tồn tại \({x_0} \in \left( {0; 2} \right)\) để \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\).
Chú ý:
Cách khác:
+) Phương trình \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\) \(\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5 = 0\) \(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 4 = 0\) \(\Leftrightarrow 4\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0\) (vô nghiệm vì \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\)) nên loại A.
+) Các phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\) và \(3\tan x - 4 = 0\) có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.
Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Lời giải chi tiết
vì: Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - 7\) có \(f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}\left({5{x^2} + 3} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mặt khác \(f\left( 0 \right) = - 7 < 0, f\left(2 \right) = 33 > 0\) nên \(f\left( 0 \right). F\left(2 \right) < 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; 2} \right]\) nên tồn tại \({x_0} \in \left( {0; 2} \right)\) để \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\).
Chú ý:
Cách khác:
+) Phương trình \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\) \(\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5 = 0\) \(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 4 = 0\) \(\Leftrightarrow 4\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0\) (vô nghiệm vì \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\)) nên loại A.
+) Các phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\) và \(3\tan x - 4 = 0\) có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.