Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 105^\circ \), \(\widehat B = 45^\circ \), \(BC = 4cm\). Tính độ dài các cạnh \(AB, AC.\)
Phương pháp giải
Áp dụng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
Vẽ đường cao \(AH\). Đặt \(BH = x,\) \(CH = y\) thì do \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ( hai góc \(\widehat B,\widehat C\) là góc nhọn) suy ra \(x + y = 4\) (xem hình trên).
Tam giác ABH vuông có \(\widehat B = {45^0}\left( {gt} \right)\) nên ABH là tam giác vuông cân tại H.
Suy ra \(\widehat {BAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAH}\)
\( = {105^0} - {45^0} = {60^0}\)
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
Ta có \( AH = HC.\cot \widehat {HAC}= HC. \cot60^\circ\)\(= \displaystyle {y \over {\sqrt 3 }}\)
Suy ra \(x =BH=AH= \displaystyle {y \over {\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow y = x\sqrt 3 \)
Từ đó \(x + y = 4\)\( \Leftrightarrow x + \sqrt {3}x = 4 \Leftrightarrow x(1 + \sqrt {3}) = 4\) \(\Leftrightarrow x = \displaystyle {4 \over {1 + \sqrt 3 }} \approx 1,46\)
Hay \(BH=AH\approx 1,46 (cm)\)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\(AB = \displaystyle {{AH} \over {\sin 45^\circ }} = {{2AH} \over {\sqrt 2 }} \approx 2,06 (cm)\)
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
\(AC = \dfrac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \dfrac{{AH}}{{\cos {{60}^0}}} \)\(\approx \dfrac{{1,46}}{{\dfrac{1}{2}}} = 2,92\left( {cm} \right)\)
Áp dụng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
Vẽ đường cao \(AH\). Đặt \(BH = x,\) \(CH = y\) thì do \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ( hai góc \(\widehat B,\widehat C\) là góc nhọn) suy ra \(x + y = 4\) (xem hình trên).
Tam giác ABH vuông có \(\widehat B = {45^0}\left( {gt} \right)\) nên ABH là tam giác vuông cân tại H.
Suy ra \(\widehat {BAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAH}\)
\( = {105^0} - {45^0} = {60^0}\)
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
Ta có \( AH = HC.\cot \widehat {HAC}= HC. \cot60^\circ\)\(= \displaystyle {y \over {\sqrt 3 }}\)
Suy ra \(x =BH=AH= \displaystyle {y \over {\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow y = x\sqrt 3 \)
Từ đó \(x + y = 4\)\( \Leftrightarrow x + \sqrt {3}x = 4 \Leftrightarrow x(1 + \sqrt {3}) = 4\) \(\Leftrightarrow x = \displaystyle {4 \over {1 + \sqrt 3 }} \approx 1,46\)
Hay \(BH=AH\approx 1,46 (cm)\)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\(AB = \displaystyle {{AH} \over {\sin 45^\circ }} = {{2AH} \over {\sqrt 2 }} \approx 2,06 (cm)\)
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
\(AC = \dfrac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \dfrac{{AH}}{{\cos {{60}^0}}} \)\(\approx \dfrac{{1,46}}{{\dfrac{1}{2}}} = 2,92\left( {cm} \right)\)