Tính giá trị lực kéo cực tiểu này

Cloud_Strife_Han

New Member
Bài toán
Người ta kéo một vật có khối lượng m lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α so với mặt phẳng ngang, hệ số ma sát là K. Tính góc β giữa véctơ lực kéo F với mặt phẳng nghiêng để độ lớn của lực kéo là cực tiểu. Tính giá trị lực kéo cực tiểu này.

Mong các bạn giúp đỡ cho! Giải chi tiết giúp mình nhé!
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
+ Vẽ hình, phân tích lực: Có 4 lực tác dụng lên vật
$\overrightarrow{F},\overrightarrow{P},\overrightarrow{F_{ms}},\overrightarrow{N}$
+ Chọn hệ quy chiếu Oxy sao cho Ox trùng với phương chuyển động của vật
+ Theo định luật II Newton ta có:
$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F_{ms}}+\overrightarrow{N}=\overrightarrow{0}$ (Do vật đi lên đều)
+ Chiếu lên các phương Ox, Oy
Oy: $F.sin\beta + N - P.\cos\alpha = 0$. Ta tính được $N = P.\cos\alpha - F.sin\beta$
Ox: $F.\cos\beta - F_{ms} - P.sin\alpha = 0$. Với $F_{ms} = k(P.\cos\alpha - F.sin\beta)$
Ta tính được $F = \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\cos\beta + k.sin\beta}$
+ Biểu thức trên có tử số là hằng số như vậy để F min thì mẫu phải max
Bài toán quay về bài toán tìm GTLN của $\cos\beta + k.sin\beta$
Bằng phương pháp đạo hàm ta tìm cực trị của hàm trên là $tan\beta = k$ với $\beta \in [0,\dfrac{\pi}{2})$
+ Vậy ta tính được:
$F_{min} = \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\cos\beta + tan\beta.sin\beta}$
$= \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\dfrac{1}{\cos\beta}}$
$= \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\sqrt{1 + tan^{2}\beta}}$
$= \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\sqrt{1 + k^{2}}}$
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:

Tăng Hải Tuân

Well-Known Member
Administrator
$\dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha}{\dfrac{1}{\cos\beta}}$
+ Vẽ hình, phân tích lực: Có 4 lực tác dụng lên vật
$\overrightarrow{F},\overrightarrow{P},\overrightarrow{F_{ms}},\overrightarrow{N}$
+ Chọn hệ quy chiếu Oxy sao cho Ox trùng với phương chuyển động của vật
+ Theo định luật II Newton ta có:
$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F_{ms}}+\overrightarrow{N}=\overrightarrow{0}$ (Do vật đi lên đều)
+ Chiếu lên các phương Ox, Oy
Oy: $F.sin\beta + N - P.\cos\alpha = 0$. Ta tính được $N = P.\cos\alpha - F.sin\beta$
Ox: $F.\cos\beta - F_{ms} - P.sin\alpha = 0$. Với $F_{ms} = k(P.\cos\alpha - F.sin\beta)$
Ta tính được $F = \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\cos\beta + k.sin\beta}$
+ Biểu thức trên có tử số là hằng số như vậy để F min thì mẫu phải max
Bài toán quay về bài toán tìm GTLN của $\cos\beta + k.sin\beta$
Bằng phương pháp đạo hàm ta tìm cực trị của hàm trên là $tan\beta = k$ với $\beta \in [0,\dfrac{\pi}{2})$
+ Vậy ta tính được:
$F_{min} = \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\cos\beta + tan\beta.sin\beta}$
$= \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\dfrac{1}{\cos\beta}}$
$= \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\sqrt{1 + tan^{2}\beta}}$
$= \dfrac{P.(k\cos\alpha + sin\alpha)}{\sqrt{1 + k^{2}}}$
Đoạn sau chỉ cần dùng Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ (Bunhia) là ra nhé em
$$\cos\beta + k.\sin\beta \le \sqrt{\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta}\sqrt{1^2+k^2} = \sqrt{1^2+k^2}.$$
Đẳng thức xảy ra khi $k=\tan \beta.$
 
Last edited:

Các chủ đề tương tự

Quảng cáo

Top