Google
Câu hỏi: Một mạch điện xoay chiều AB gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L, tụ điện C theo thứ tự mắc nối tiếp, với $C{{R}^{2}}<2L$. Gọi M là điểm nối giữa cuộn dây L và tụ điện C. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch 1 điện áp xoay chiều có biểu thức $u={{U}_{0}}\cos \omega \text{t}$ với $\omega $ thay đổi được. Thay đổi ω để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại khi đó ${{U}_{{{c}_{\text{max}}}}}=1,25U$. Hệ số công suất của đoạn mạch AM là:
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
Phương pháp:
+ Sử dụng biểu thức: ${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}$
+ Sử dụng phương pháp tìm cực trị
+ Sử dụng biểu thức tính hệ số công suất: $\cos \varphi =\dfrac{R}{Z}$
Cách giải:
Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện:
${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}=\dfrac{U}{\omega C\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U}{C\sqrt{{{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+\left( {{R}^{2}}-\dfrac{2L}{C} \right){{\omega }^{2}}+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}}}=\dfrac{U}{C\sqrt{A}}$
Vậy ${{U}_{{{C}_{\text{max }}}}}\text{ khi }{{A}_{\min }}$
Đặt $x={{\omega }^{2}}\Rightarrow A={{L}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{R}^{2}}-2\dfrac{L}{C} \right)x+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}$
${{A}^{\prime }}=0\Rightarrow x={{\omega }^{2}}=\dfrac{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}\Rightarrow \omega =\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}$
Thay vào biểu thức ${{U}_{c}}\Rightarrow {{U}_{{{C}_{max}}}}=\dfrac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}=1,25U$
$\Rightarrow 64{{L}^{2}}=100LC{{R}^{2}}-25{{C}^{2}}{{R}^{4}}\Rightarrow 25{{C}^{2}}{{R}^{4}}-100LC{{R}^{2}}+64{{L}^{2}}=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{R}^{2}}=\dfrac{50LC+30LC}{25{{C}^{2}}}=\dfrac{16L}{5C}(\text{ loai }) \\
{{R}^{2}}=\dfrac{50LC-30LC}{25{{C}^{2}}}=\dfrac{4L}{5C} \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{L}{C}=\dfrac{5}{4}{{R}^{2}}$
Hệ số công suất của đoạn mạch AM:
$\cos {{\varphi }_{AM}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\left( \dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}} \right){{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
+ Sử dụng biểu thức: ${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}$
+ Sử dụng phương pháp tìm cực trị
+ Sử dụng biểu thức tính hệ số công suất: $\cos \varphi =\dfrac{R}{Z}$
Cách giải:
Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện:
${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}=\dfrac{U}{\omega C\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U}{C\sqrt{{{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+\left( {{R}^{2}}-\dfrac{2L}{C} \right){{\omega }^{2}}+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}}}=\dfrac{U}{C\sqrt{A}}$
Vậy ${{U}_{{{C}_{\text{max }}}}}\text{ khi }{{A}_{\min }}$
Đặt $x={{\omega }^{2}}\Rightarrow A={{L}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{R}^{2}}-2\dfrac{L}{C} \right)x+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}$
${{A}^{\prime }}=0\Rightarrow x={{\omega }^{2}}=\dfrac{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}\Rightarrow \omega =\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}$
Thay vào biểu thức ${{U}_{c}}\Rightarrow {{U}_{{{C}_{max}}}}=\dfrac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}=1,25U$
$\Rightarrow 64{{L}^{2}}=100LC{{R}^{2}}-25{{C}^{2}}{{R}^{4}}\Rightarrow 25{{C}^{2}}{{R}^{4}}-100LC{{R}^{2}}+64{{L}^{2}}=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{R}^{2}}=\dfrac{50LC+30LC}{25{{C}^{2}}}=\dfrac{16L}{5C}(\text{ loai }) \\
{{R}^{2}}=\dfrac{50LC-30LC}{25{{C}^{2}}}=\dfrac{4L}{5C} \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{L}{C}=\dfrac{5}{4}{{R}^{2}}$
Hệ số công suất của đoạn mạch AM:
$\cos {{\varphi }_{AM}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\left( \dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}} \right){{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
Đáp án D.