Google
Câu hỏi: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa tại nơi có $g=10\text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}.$ Bỏ qua mọi lực cản. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng của quả nặng. Hình vẽ bên là một phần các đường cong biểu diễn mối liên hệ giữa thế năng trọng trường và động năng của quả nặng theo thời gian. Biết ${{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\dfrac{7\pi }{240}s.$ Xét một chu kì, trong thời gian lò xo bị nén thì tốc độ trung bình của quả nặng gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 87 cm/s
B. 115 cm/s
C. 98 cm/s
D. 124 cm/s
A. 87 cm/s
B. 115 cm/s
C. 98 cm/s
D. 124 cm/s
Phương pháp:
+ Đọc đồ thị
+ Sử dụng biểu thức tính động năng: ${{W}_{d}}=\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}$
+ Sử dụng biểu thức tính thế năng trọng trường: ${{W}_{t}}=mgx$
Cách giải:
Từ đồ thị ta có:
+ Đường nét liền là đường biểu diễn động năng của vật theo thời gian
Tại thời điểm t2, động năng của vật ${{W}_{d}}=\dfrac{W}{2}\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}$ và đang \tan g $\Rightarrow {{x}_{2}}=-\dfrac{A\sqrt{2}}{2}$
+ Đường nét đứt là đường biểu diễn thế năng trọng trường của vật theo thời gian
Ta có tại thời điểm ${{t}_{1}}:{{W}_{t}}=-\dfrac{1}{2}{{W}_{{{t}_{\max }}}}$
Lại có thế năng trọng trường: ${{W}_{t}}=mgx$ và ${{W}_{t\max }}=mgA$
⇒ tại ${{t}_{1}}:{{x}_{1}}=-\dfrac{A}{2}$ và đang giảm.
Vẽ trên đường tròn lượng giác ta được:
Thời gian vật đi từ ${{t}_{1}}\Rightarrow {{t}_{2}}$ là: $\Delta t=\dfrac{T}{6}+\dfrac{T}{8}=\dfrac{7T}{24}=\dfrac{7\pi }{240}s\Rightarrow T=\dfrac{\pi }{10}s$
+ Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng: $\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{g}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{g{{T}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=\dfrac{10\cdot {{\left(\dfrac{\pi }{10} \right)}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=0,025m=2,5cm$
Lại có: Cơ năng $W=\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}=4o\hat{a}$
Thế năng trọng trường cực đại: ${{W}_{{{t}_{\max ~}}}}=mgA=2\hat{o}\Rightarrow \dfrac{W}{{{W}_{{{t}_{\max ~}}}}}=\dfrac{kA}{2mg}=2\Rightarrow A=\dfrac{4mg}{k}=4\Delta l=10cm$
Thời gian nén của lò xo trong 1 chu kì: ${{t}_{nen}}=\dfrac{2\alpha }{\omega }$ ta có: $\cos \alpha =\dfrac{\Delta l}{A}\Rightarrow \alpha =1,318rad$
Quãng đường đi được của vật: $S=2(10-2,5)=15cm$
Vận tốc trung bình: ${{v}_{tb}}=\dfrac{S}{{{t}_{nen}}}=\dfrac{15}{\dfrac{2.1,318}{20}}=113,81c\text{m/s}$
+ Đọc đồ thị
+ Sử dụng biểu thức tính động năng: ${{W}_{d}}=\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}$
+ Sử dụng biểu thức tính thế năng trọng trường: ${{W}_{t}}=mgx$
Cách giải:
Từ đồ thị ta có:
+ Đường nét liền là đường biểu diễn động năng của vật theo thời gian
Tại thời điểm t2, động năng của vật ${{W}_{d}}=\dfrac{W}{2}\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}$ và đang \tan g $\Rightarrow {{x}_{2}}=-\dfrac{A\sqrt{2}}{2}$
+ Đường nét đứt là đường biểu diễn thế năng trọng trường của vật theo thời gian
Ta có tại thời điểm ${{t}_{1}}:{{W}_{t}}=-\dfrac{1}{2}{{W}_{{{t}_{\max }}}}$
Lại có thế năng trọng trường: ${{W}_{t}}=mgx$ và ${{W}_{t\max }}=mgA$
⇒ tại ${{t}_{1}}:{{x}_{1}}=-\dfrac{A}{2}$ và đang giảm.
Vẽ trên đường tròn lượng giác ta được:
Thời gian vật đi từ ${{t}_{1}}\Rightarrow {{t}_{2}}$ là: $\Delta t=\dfrac{T}{6}+\dfrac{T}{8}=\dfrac{7T}{24}=\dfrac{7\pi }{240}s\Rightarrow T=\dfrac{\pi }{10}s$
+ Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng: $\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{g}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{g{{T}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=\dfrac{10\cdot {{\left(\dfrac{\pi }{10} \right)}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=0,025m=2,5cm$
Lại có: Cơ năng $W=\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}=4o\hat{a}$
Thế năng trọng trường cực đại: ${{W}_{{{t}_{\max ~}}}}=mgA=2\hat{o}\Rightarrow \dfrac{W}{{{W}_{{{t}_{\max ~}}}}}=\dfrac{kA}{2mg}=2\Rightarrow A=\dfrac{4mg}{k}=4\Delta l=10cm$
Thời gian nén của lò xo trong 1 chu kì: ${{t}_{nen}}=\dfrac{2\alpha }{\omega }$ ta có: $\cos \alpha =\dfrac{\Delta l}{A}\Rightarrow \alpha =1,318rad$
Quãng đường đi được của vật: $S=2(10-2,5)=15cm$
Vận tốc trung bình: ${{v}_{tb}}=\dfrac{S}{{{t}_{nen}}}=\dfrac{15}{\dfrac{2.1,318}{20}}=113,81c\text{m/s}$
Đáp án B.