Google
Câu hỏi: Mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có C thay đổi. Đặt một hiệu điện thế xoay chiều $u=100\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)(V).$ Các vôn kế xoay chiều lí tưởng V1, V2 và V3 tương ứng lần lượt mắc vào hai đầu C, hai đầu L và hai đầu R. Điều chỉnh C để tổng số chỉ của ba vôn kế đạt cực đại và bằng S thì hệ số công suất của đoạn mạch AB là 0,95. Giá trị S gầnvới giá trị nào nhất ?
A. 450V
B. 420V
C. 340V
D. 320V
A. 450V
B. 420V
C. 340V
D. 320V
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp chuẩn hóa, đạo hàm.
Cách giải:
Đặt $y={{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=\dfrac{U\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$
Lấy đạo hàm của y theo ZC ta được:
${y}'=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}-\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)\cdot \dfrac{2{{Z}_{C}}-2{{Z}_{L}}}{2\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}$
${y}'=0\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}-\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)\cdot \dfrac{2{{Z}_{C}}-2{{Z}_{L}}}{2\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+{{Z}_{C}}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)\left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} \right)}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}}$ $\Rightarrow {{Z}_{C}}=\dfrac{{{R}^{2}}+2Z_{L}^{2}+{{Z}_{L}}R}{R+2{{Z}_{L}}}$
Hệ số công suất $\cos \varphi =0,95\Rightarrow \left| \tan \varphi \right|=\dfrac{\sqrt{39}}{19}$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{\sqrt{39}}{19} \\
-\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{\sqrt{39}}{19} \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{C}}={{Z}_{L}}-R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19} \\
{{Z}_{C}}=R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}+{{Z}_{L}} \\
\end{array} \right.$
+ TH1: ${{Z}_{C}}=R.\tan \varphi +{{Z}_{L}}={{Z}_{L}}-R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}$
Chuẩn hóa: $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}<0\Rightarrow $ Không thõa mãn.
+ TH2: ${{Z}_{C}}=R.\tan \varphi +{{Z}_{L}}=R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}+{{Z}_{L}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{R}^{2}}+2Z_{L}^{2}+{{Z}_{L}}R}{R+2{{Z}_{L}}}=R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}+{{Z}_{L}}$
Chuẩn hóa: $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}=1,0212\Rightarrow {{Z}_{C}}=1,35$
$\Rightarrow {{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}+\dfrac{U\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)}{Z}=\dfrac{U\cos \varphi .\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)}{R}=320,25V$
Sử dụng phương pháp chuẩn hóa, đạo hàm.
Cách giải:
Đặt $y={{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=\dfrac{U\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$
Lấy đạo hàm của y theo ZC ta được:
${y}'=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}-\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)\cdot \dfrac{2{{Z}_{C}}-2{{Z}_{L}}}{2\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}$
${y}'=0\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}-\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)\cdot \dfrac{2{{Z}_{C}}-2{{Z}_{L}}}{2\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+{{Z}_{C}}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)\left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} \right)}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}}$ $\Rightarrow {{Z}_{C}}=\dfrac{{{R}^{2}}+2Z_{L}^{2}+{{Z}_{L}}R}{R+2{{Z}_{L}}}$
Hệ số công suất $\cos \varphi =0,95\Rightarrow \left| \tan \varphi \right|=\dfrac{\sqrt{39}}{19}$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{\sqrt{39}}{19} \\
-\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{\sqrt{39}}{19} \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{C}}={{Z}_{L}}-R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19} \\
{{Z}_{C}}=R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}+{{Z}_{L}} \\
\end{array} \right.$
+ TH1: ${{Z}_{C}}=R.\tan \varphi +{{Z}_{L}}={{Z}_{L}}-R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}$
Chuẩn hóa: $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}<0\Rightarrow $ Không thõa mãn.
+ TH2: ${{Z}_{C}}=R.\tan \varphi +{{Z}_{L}}=R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}+{{Z}_{L}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{R}^{2}}+2Z_{L}^{2}+{{Z}_{L}}R}{R+2{{Z}_{L}}}=R\cdot \dfrac{\sqrt{39}}{19}+{{Z}_{L}}$
Chuẩn hóa: $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}=1,0212\Rightarrow {{Z}_{C}}=1,35$
$\Rightarrow {{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}+\dfrac{U\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)}{Z}=\dfrac{U\cos \varphi .\left( R+{{Z}_{L}}+{{Z}_{C}} \right)}{R}=320,25V$
Đáp án D.