Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

Câu hỏi: 1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\); trục hoành và hai đường thẳng \(x = a; x = b\), thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức:

\(S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx\) (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của \(f(x)\) trên đoạn \([a,b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu trên khoảng \((c;d) ⊂ [a;b]\) thì :

\(\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|\)

Chẳng hạn ta có:

\(\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right| \)\(+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|\)

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y= f1​(x) và y =f2​(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng \( x = a, x = b\) thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức :

\(\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx\) (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f1​(x) - f2​(x) trên đoạn \([a;b]\) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng \((a;b)\), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: f1​(x) - f2​(x) = 0, tìm các nghiệm xi​ ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

x1 ​< x2​ < … < xn.​

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

\(S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|\)

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a, x = b\) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x1​, b được thay thế bởi xn.​


Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f1​(x) = 0 hoặc y = f2​(x) = 0.

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g1​(y), x = g2​(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức: $$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = a, x = b (a<b)\). \(S(x)\) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: \(V = \int_a^b S (x)dx\) (với \(S(x)\) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn \([a;b]\)).


3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) không âm và liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quay quanh trục \(Ox\), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích Vx​ của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$


b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\) không âm và liên tục trên đoạn \([c;d]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) quay quanh trục \(Oy\), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy​ của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) và đồ thị hàm số y = f1​(x), y = f2​(x) liên tục và 0 ≤ f1​(x) ≤ f2​(x) trên đoạn \([a;b]\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò \(x\) và \(y\) cho nhau, ta có công thức tính Vy​ (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).